PCA主成分分析估计点云法向量(原理)

PCA用到的矩阵知识

  • svd奇异值分解
  • 瑞利熵
  • 谱定理

PCA

  • input:n*d,n代表个数，d代表维度
  • Output:主成分向量 ，principle vectors ，仅仅是一个向量，代表一个方向。主成分的个数k<=原始空间维度数d

Q&A

  • 什么是最主要的成分？
    点的投影后分布的方差最大的方向。(在该方向上的点云分布的最分散)
  • 怎么获取第二个主成分
    去掉第一个主成分之后分布方差最大的方向

法向量估计

1. 原理

所谓法线估计实质上就是对每一个点，在其邻域内估计出一个平面。

我们知道，估计一个平面需要一个点和一个法向量，这个法向量就是我们要估计的法向量。这个点就是这一群邻域点(与该点自身)的平均值。

设平均点为c，法向量为n，问题就可以转换到寻求一个方向n使得所有邻域点在方向n上的投影点的分布最为集中，这样一个优化问题，

在这里插入图片描述

很显然，根据PCA分析可以知道，寻求一个方向n使得所有邻域点在方向n上的投影点的分布最为集中，也是就意味着点在该方向上的投影的方差最小。这就是PCA中最不重要的那个方向向量，因为点云在三维空间所以，n就是第三个PCA向量。

我们选择c为这一群点的平均值，所以xi-c就是就是去中心化后的点。所以该问题变为了如下问题，

在这里插入图片描述

把括号展开，化简就可以得到

在这里插入图片描述

根据PCA可知，我们要求的n就是XXT最小特征值对应的特征向量。

2. 步骤

  1. 选择P
  2. 发现所选点的最近邻点
  3. PCA分析
  4. 法线：对应主成分中的最不重要的那一个方向(代表在该方向上的投影点分布最密集，方差最小)
  5. 曲率->最小特征值所占的比例