Burg法求解AR(p)模型参数（一）自回归模型

文章目录

第一章自回归模型
- 第一节概念
参考

第一章自回归模型

第一节概念

一、自回归模型

1.1 定义

在许多应用中，时序数据X_t通常可由历史数据的加权和与随机扰动的叠加来表示，如公式(1)中所示
在这里插入图片描述
其中a₁为常系数， ε _t为随机扰动（噪声）项。自回归（Autoregression）模型即是这样一种采用式（1）描述时序数据的时间序列模型。

1.2 自回归模型的平稳解

所谓平稳解，即是满足式（1）的平稳时间序列。需要指出的是，式（1）不一定存在平稳解。在实际应用中，一般假设 ε _t为高斯白噪声WN(0,σ² )。在这种情况下，平稳解总是存在的。

二、推移算子

2.1 概念

       对任何时间序列 {X_t}和无穷级数在这里插入图片描述
       只要级数

       在某种意义下收敛（例如 a.s.收敛，依概率收敛，均方收敛），就定义

       并称B是时间t的向后推移算子，简称推移算子,且B^jX_t = X_t-j 。

2.2 性质

在这里插入图片描述

三、A(z)

3.1 概念

给定 p 个实数a ₁,a ₂,a ₃……a _p ，(a _p≠0)，称
在这里插入图片描述
为 p 阶齐次常系数线性差分方程，简称为齐次差分方程。满足式（4）的时间序列称为齐次差分方程（4）的解。

注：在数学上，递推关系（recurrence relation），也就是差分方程（difference equation），是一种递推地定义一个序列的方程式：序列的每一项目是定义为前一项的函数。

可以看出，式（4）的解可以由它的p 个初值 X ₀,X ₁,X ₂……X _p-1 逐步递推得到，
在这里插入图片描述
所以{X _t}可以由这 p 个初值唯一决定。因为初值是可以任意选择的，所以式（4）的解有无穷多个。

       利用推移算子B，可以把式（4）写成等价形式，
在这里插入图片描述
       其中

       A(z)称为式（4）的特征多项式。

3.2 性质

1）如果多项式A(z)的根都在单位圆外，即 |z_j|>1 ，那么 {X_t}以负指数阶收敛到零；

2）如果多项式 A(z)在单位圆内有根，即 |z_j|≤1 ，那么差分方程（4）存在发散的解。

四、AR（p）模型

一般情况下只考虑稳定的差分方程系统（更有应用价值），这就是著名的AR§ 模型。

4.1 定义

如果{ε _t} 是白噪声 WN(0,σ² )，实数a ₁,a ₂,a ₃……a _p(a _p≠0)使得多项式 A(z) 的零点都在单位圆外：
在这里插入图片描述

就称公式(13)是一个 p阶自回归模型，简称AR（p）模型。
在这里插入图片描述
满足公式(13)的平稳时间序列 {X_t}称为平稳解或 AR§序列。称 a=(a ₁,a ₂,a ₃……a _p)^T 是AR（p）模型的自回归系数。称公式（12）是稳定性条件或最小相位条件。

4.2 AR（p）模型的平稳解

       利用时间推移算子可以将公式（13）改写成
在这里插入图片描述
       设多项式 A(z)的互异根是 z ₁,z ₂z ₃……z _k，则对 1<ρ<min{|z_j|} ， A^-1(z)=1/A(z)是{z:|z|<ρ}内的解析函数。从而有Taylor级数

       由级数（15）在z=ρ的绝对收敛性得到：当 j→∞时， |Ψ_j ρ^j|→0。于是由
在这里插入图片描述
       知道{Ψ_j}绝对可和。