n平方的求和公式_自然数平方数列和立方数列求和公式

自然数平方数列和立方数列求和公式怎么推导？

即：

(1)

1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

(2)

1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2

推导过程如下：

一

.

1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

利用立方差公式

n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]

=n^2+(n-1)^2+n^2-n

=2*n^2+(n-1)^2-n

2^3-1^3=2*2^2+1^2-2

3^3-2^3=2*3^2+2^2-3

4^3-3^3=2*4^2+3^2-4

......

n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n

各等式全相加

n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)

n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-

(2+3+4+...+n)