数字信号处理笔记01：离散时间信号与系统

一、离散时间序列

1. 序列的表示

离散时间信号也称为离散时间序列

2. 序列的分类

序列长度：有限长序列和无限长序列

序列周期性：周期序列和非周期序列

序列函数值：实数序列和复数序列

能量序列：

功率序列：

3. 常用时间序列

二者关系：

$\delta[n] = u[n] - u[n-1]$

$u[n] = \sum_{m=-\infty}^{n}\delta[m]$

$u[n] = \sum_{k=0}^{\infty} \delta[n-k]$

R_N[n]=u[n]-u[n-N]

$R_N[n] = \sum_{k=0}^{N-1} \delta[n-k]$

连续的周期信号，其对应的离散时间序列不一定具有周期性

4. 序列的分解

$x[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k] \delta[n-k]$

二、离散时间系统

1. 系统的表示

y[n] = T[x[n]]

2. 系统的分类

（1）无记忆系统：系统的输出只与当前时刻的输入有关

（2）线性系统：系统的输入与输出满足齐次性和叠加性

（3）时不变系统：系统的特性不随时间而变化

（4）因果系统：当前时刻输出仅取决于当前及以前时刻的输入，而与以后的输入无关

（5）稳定系统：有界输入产生有界输出，则系统稳定

3. LTI系统的卷积和表示

4. LTI系统的性质

（1）交换律

$x_1[n]\bigotimes x_2[n] = x_2[n] \bigotimes x_1[n]$

（2）结合律

$x[n]\bigotimes h_1[n] \bigotimes h_2[n] = x[n] \bigotimes \{ h_1[n] \bigotimes h_2[n] \}$

（3）分配律

$x[n]\bigotimes \{h_1[n] + h_2[n] \} = x[n] \bigotimes h_1[n] + x[n] \bigotimes h_2[n]$

（4）LTI因果性判据

（5）LTI系统稳定性判据