计算机网络——奈氏准则和香农定理

奈氏准则

采样定理

假设原始信号中的最大频率为f，那么采样频率F必须≥2f

码间串扰

具体的信道所能通过的频率范围总是有限的（具体的信道带宽是固定的），所以信号中的大部分高频分量过不去，在传输过程中会衰减，导致在接收端收到的信号的波形失去了码元之间的清晰界限

带宽

在计算机网络中，带宽用来表示网络中某信道传送数据的能力，因此网络带宽表示在单位时间内网络中的某信道所能通过的“最高数据率”，带宽的单位就是数据率的单位，即bit/s
信道带宽则是信道能通过的最高频率和最低频率之差

奈奎斯特定理

为了寻找在保证不出现码间串扰的条件下码元传输速率的最大值，提出了奈奎斯特定理

在理想低通（没有噪声、带宽有限）的信道中，为了避免码间串扰

极限码元传输率为2WBaud（W是理想低通信道的带宽，单位为Hz）

在理想带通的条件下

最高的码元传输速率为WBaud

W是理想低通信道的带宽，单位为Hz
2W为在理想低通（没有噪声、带宽有限）的信道中的极限码元传输率
N表示每个码元离散电平的数目（有M种不同的码元，比如N=16，则log216 = 4，需要4位二进制位）

理想低通信道下最大数据传输速率=2W log2N bit/s

归纳总结与例题

由上述公式可知，奈奎斯特定理仅仅是给出了无噪声情况下码元最大传输速率，即2W，并没有给出最大数据传输率，因此可以改变log2N，只要N足够大（即编码足够好），使得一个码元携带无穷个比特，那么最大数据传输速率就可以无穷大！

对一个无噪声的4kHz信道进行采样，可达到的最大数据传输速率是多少？

[无限大]

  • 思路一：在4kHz的信道上，采样频率需要8kHz（每秒可进行8k次采样）。如果每次采样可以取得16bit的数据，那么信道就可以发送128k bit/s的数据；如果每次采样可以取得1024bit的数据，那么信道就可以发送8M bit/s的数据。所以说只要编码足够好（每个码元能够携带更多地比特），最高码元传输速率是可以无限大的
  • 思路二：根据公式可知，N可以无穷大，因此最高码元传输速率是可以无限大的

tips:这里关键在于信道是无噪声的，如果在一个有噪声的4kHz的信道中，根据香农定理则不允许最大数据传输率为无限大

在无噪声的情况下，若某通信链路的带宽为3kHz，采用4个相位，每个相位具有4种振幅的QAM调制技术，则该通信链路的最大数据传输率是多少？

[24000 bit/s]

  • 4个相位，每个相位具有4种振幅的QAM调制技术，则有4*4=16种不同的组合，log216 = 4，则1个码元可携带4bit信息量，
  • 奈氏准则
    最高信息传输速率=2W Baud=2 × 3k Hz=6000Baud
    最大数据传输速率=2W log2N = 6000 × 4 = 24000 bit/s

采用8种相位，每种相位各有两种幅度的QAM调制方法，在1200Baud的信号传输速率下能达到的数据传输速率是多少?

[4800 bit/s]

  • 8种相位，则一共有8 × 2=16 种码元，每个码元携带log216=4 bit的信息
  • 数据传输速率= W log2N = 1200 × 4 = 4800 bit/s

对于某带宽为4000Hz的低通信道，采用16种不同的物理状态来表示数据，按照奈奎斯特定理，信道的最大传输速率是多少？

[32 kb/s]

  • 16种不同的物理状态，即N=16
  • 2W = 2 × 4000 = 8000Band
  • 理想低通信道下最大数据传输速率=2W log2N bit/s = 8000 log216=32000b/s=32kb/s

（）一个信道每1/8s采样一次，传输信号共有16种变化状态，最大数据传输率是多少

[32 bit/s]

  • 每1/8s采样一次→每秒8次，即8波特，（不是信道带宽多少Hz，不用*2）
  • 16种变化状态的信号，log2N = log216 = 4，可携带4bit数据
  • 最大数据传输率 = W log2N bit/s = 8 × 4 = 32 bit/s

注意：无噪声、低通就要用到2W！！！！！

香农定理

信噪比

信噪比(dB) = 10 log10(S/N) (dB)

香农公式

最大数据传输速率 = W × log2(1+S/N) (bit/s)
W为信道的带宽，因此想要提高最大数据传输速率，应该设法提高传输线路的带宽或者所传信号的信噪比

相关例题

电话系统的典型参数是信道带宽为3000Hz，信噪比为30dB，则该系统的最大数据传输速率是多少？

答：30k bit/s

  • 该信道是有噪声的信道，应该用香农公式来求解。
    信噪比为30dB，30 = 10 log10(S/N) →S/N = 1000
    根据香农公式，极限码元传输率 = W × log2(1+1000) = 3000 × log21001 ≈ 30k bit/s

比较奈氏准则与香农定理

  • 奈奎斯特定理指出了码元传输的速率是受限的。
  • 奈奎斯特定理实在理想的条件下推导出来的，在实际条件下，最高码元传输速率要比理想条件下得出的数值还要小。
  • 香农公式给出了信息传输速率的极限，即对于一定的传输带宽（以Hz为单位）和一定的信噪比，信息传输速率的上线就确定了，这个极限是不能够被突破的。要想提高信息的极限传输速率，必须设法提高传输线路的带宽或者所传信号的信噪比。