(a+c)/(b+d)与a/b和c/d的关系

提问：$\frac{a}{b}$ 和 $\frac{c}{d}$ 与 $\frac{a+c}{b+d}$ 的大小是什么关系？

要回答这个问题并不困难，即使直觉上不那么强烈，举几个例子总能得出结果，$\frac{a+c}{b+d}$ 应该落在 $\frac{a}{b}$ 和 $\frac{c}{d}$ 之间。如果它们的大小关系满足一般规律，那么特例的结果就是可信的。

现在从数学的角度看看它们的关系。这里需要先做一些设定，规定一下 $\frac{a}{b}$ 和 $\frac{c}{d}$ 的大小关系。

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如果 $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，那么 $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}$；除此之外，我们假定$\frac{a}{b}>\frac{c}{d}$ 。

下面我们从 $\frac{a}{b}$ 出发做等量变换，$\frac{a}{b}=\frac{a+c}{b+\frac{bc}{a}}=\frac{a(1+\frac{c}{a})}{b(1+\frac{c}{a})}$；$\frac{a+c}{b+\frac{bc}{a}}$ 和 $\frac{a+c}{b+d}$ 的区别在于把分母中的 $\frac{bc}{a}$ 替换成了 $d$，换句话说，只要我们知道了 $\frac{bc}{a}$ 和 $d$ 的大小关系，就可以知道 $\frac{a}{b}$ 和 $\frac{a+c}{b+d}$ 的关系了。

由于前面我们规定 $\frac{a}{b}>\frac{c}{d}$，因此 $d>\frac{bc}{a}$；

继而有 $\frac{a+c}{b+d}<\frac{a+c}{b+\frac{bc}{a}}=\frac{a}{b}$，也就有了 $\frac{a+c}{b+d}<\frac{a}{b}$；同理可得 $\frac{a+c}{b+d}>\frac{c}{d}$ ；

于是 $\frac{a}{b}>\frac{a+c}{b+d}>\frac{b}{d}$ 。

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从另一个角度来看，如果我们要证 $\frac{a}{b}>\frac{a+c}{b+d}$，则需要证明 $ab+ad>ab+bc$，即需证 $ad>bc$，而这一点正是我们在假设中给出的条件。

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从直观上来看，$\frac{a}{b}$ 其实是一杯红墨水，$b$ 是水的体积，$a$ 是墨水的体积，$\frac{a}{b}$ 就是把水和墨水混合，得到一杯稀释的墨水；$\frac{c}{d}$ 也是一样。

那么 $\frac{a+c}{b+d}$ 代表的是什么呢？其实就是把 $\frac{a}{b}$ 和 $\frac{c}{d}$ 这两杯墨水倒进一个杯子里，混合起来。其结果必然是混合后的颜色介于两者之间，或者一样。

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有时候生活的经验可以帮助我们做出判断，但是那并不是本质，只是表象。通过对现象的观察，能帮助我们理解和探寻本质，但是不要颠倒表象与本质。人类文明的发展也是不断通过表象探寻本质的过程，所谓万象之下，道行为本。