考研数学二复习笔记-高等数学-第二章 一元函数微分学
1.导数和微分
求导
使用导数的定义
f
′
(
x
)
=
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
−
f
(
x
0
)
x
−
x
0
或者
f
′
(
x
)
=
lim
Δ
x
→
0
f
(
x
0
+
Δ
x
)
−
f
(
x
0
)
Δ
x
f'(x)=\lim_{x \to{x0}}\frac{f(x)-f(x0)}{x-x0} 或者f'(x)=\lim_{Δx \to0}\frac{f(x0+Δx)-f(x0)}{Δx}
f′(x)=limx→x0x−x0f(x)−f(x0)或者f′(x)=limΔx→0Δxf(x0+Δx)−f(x0)
结论:
(1)
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
+
B
x
−
x
0
=
A
且
f
(
x
)
在
x
0
处连续
,
可以推导出
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
=
−
B
和
f
′
(
x
0
)
=
A
\lim_{x \to{x0}}\frac{f(x)+B}{x-x0}=A且f(x)在x0处连续,可以推导出\lim_{x \to{x0}}f(x)=-B和f'(x0)=A
limx→x0x−x0f(x)+B=A且f(x)在x0处连续,可以推导出limx→x0f(x)=−B和f′(x0)=A
(
2
)
f
(
x
)
=
∣
x
−
x
0
∣
g
(
x
)
且
g
(
x
)
在
x
0
处连续
,
f
′
(
x
)
在
x
0
处可到
⇋
g
(
x
0
)
=
0
(2)f(x)=|x-x0|g(x)且g(x)在x0处连续,f'(x)在x0处可到⇋g(x0)=0
(2)f(x)=∣x−x0∣g(x)且g(x)在x0处连续,f′(x)在x0处可到⇋g(x0)=0
注意点:
f(x)在x=a的某个邻域有定义,求f(x)在x=a处可导的充要条件是什么?
(1)
lim
x
→
+
∞
x
[
f
(
a
+
1
x
)
−
f
(
a
)
]
存在
\lim_{x \to+\infty}x[f(a+\frac{1}{x})-f(a)]存在
limx→+∞x[f(a+x1)−f(a)]存在 不能推出:只能说明存在右导数
(2)
lim
n
→
∞
x
[
f
(
a
+
1
n
)
−
f
(
a
)
]
存在
\lim_{n \to\infty}x[f(a+\frac{1}{n})-f(a)]存在
limn→∞x[f(a+n1)−f(a)]存在 不能推出:n代表的是数列极限,也就是说n是正数,还是只能说明有右导数
(3)
lim
x
→
0
f
(
a
+
x
)
−
f
(
a
−
x
)
2
x
存在
\lim_{x \to0}\frac{f(a+x)-f(a-x)}{2x}存在
limx→02xf(a+x)−f(a−x)存在 不能推出:虽然可以凑成两个导数定义的形式,但是可能a点是个分段点,也就不连续,更不可能有导数。
微分
现阶段可认为dx=Δx。dy=f'(x)dx
1.微分定义:Δy=AΔx+o(Δx),其中A与Δx无关
dy=AΔx
Δy-dy是Δx的高阶无穷小
(1)f’(x)>0且f’'(x)>0情况。此时Δy-dy>0
(2)f’(x)>0且f’'(x)<0情况。此时Δy-dy<0
可导⇋可微
2.导数和微分计算
导数公式
(1)
(
C
)
′
=
0
(C)'=0
(C)′=0
(2)
(
x
a
)
′
=
a
x
a
−
1
(x^a)'=ax^{a-1}
(xa)′=axa−1
(3)
(
a
x
)
′
=
a
x
l
n
a
(a^x)'=a^xlna
(ax)′=axlna
(4)
(
e
x
)
′
=
e
X
(e^x)'=e^X
(ex)′=eX
(5)(logax)
′
=
1
x
l
n
a
'=\frac{1}{xlna}
′=xlna1
(6)
(
l
n
∣
x
∣
)
′
=
1
x
(ln|x|)'=\frac{1}{x}
(ln∣x∣)′=x1
(7)
(
s
i
n
x
)
′
=
c
o
s
x
(sinx)'=cosx
(sinx)′=cosx
(8)
(
c
o
s
x
)
′
=
−
s
i
n
x
(cosx)'=-sinx
(cosx)′=−sinx
(9)
(
t
a
n
x
)
′
=
s
e
c
2
x
(tanx)'=sec^2x
(tanx)′=sec2x
(10)
(
c
o
t
x
)
′
=
−
c
s
c
2
x
(cotx)'=-csc^2x
(cotx)′=−csc2x
(11)
(
s
e
c
x
)
′
=
s
e
c
x
t
a
n
x
(secx)'=secx tanx
(secx)′=secxtanx
(12)
(
c
s
c
x
)
′
=
−
c
s
c
x
c
o
t
x
(cscx)'=-cscx cotx
(cscx)′=−cscxcotx
(13)
(
a
r
c
s
i
n
)
′
=
1
1
−
x
(arcsin)'=\frac{1}{\sqrt{1-x}}
(arcsin)′=1−x1
(14)
(
a
r
c
c
o
x
)
′
=
−
1
1
−
x
(arccox)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x}}
(arccox)′=−1−x1
(15)
(
a
r
c
t
a
n
x
)
′
=
1
1
+
x
2
(arctanx)'=\frac{1}{1+x^2}
(arctanx)′=1+x21
(16)
(
a
r
c
c
o
t
)
′
=
−
1
1
+
x
2
(arccot)'=-\frac{1}{1+x^2}
(arccot)′=−1+x21
长多项式求导
例如:
f(x)=(x-1)(x-2)…(x-50),则f’(1)=?
可以观察到x=1时x-1=0；可以将(x-2)(x-3)…(x-50)=g(x)
令f(x)=(x-1)g(x)
f’(x)=[(x-1)‘]g(x)+(x-1)g’(x)
带入1后只剩下g(x)部分了。
g(x)=(-1)(-2)…(-49)=-49!
反函数求导
d
x
d
y
=
1
d
y
d
x
\frac{dx}{dy}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}}
dydx=dxdy1
反函数二阶导:
d
2
x
d
y
2
=
d
(
d
x
d
y
)
d
y
=
d
(
1
f
′
(
x
)
)
d
y
=
d
(
1
f
′
(
x
)
)
/
d
x
d
y
/
d
x
=
f
′
′
(
x
)
−
[
f
′
(
x
)
]
3
\frac{d^2x}{dy^2}=\frac{d(\frac{dx}{dy})}{dy}=\frac{d(\frac{1}{f'(x)})}{dy}=\frac{d(\frac{1}{f'(x)})/dx}{dy/dx}=\frac{f''(x)}{-[f'(x)]^3}
dy2d2x=dyd(dydx)=dyd(f′(x)1)=dy/dxd(f′(x)1)/dx=−[f′(x)]3f′′(x)
隐函数求导
1.直接法(求具体函数某个点使用更容易)
直接对x和y求导,将y看作x的函数
2.公式法
将x和y全部移到等式的一边,分别求x和y的导,将y看作x的函数
F(x,y)=0;
F’x+
d
y
d
x
\frac{dy}{dx}
dxdyF’y=0;
d
y
d
x
=
−
F
′
x
F
′
y
\frac{dy}{dx}=-\frac{F'x}{F'y}
dxdy=−F′yF′x
3.全微分
求导技巧
y
=
f
(
x
)
g
(
x
)
y=f(x)^{g(x)}
y=f(x)g(x)
1.对数法求导
lny = g(x)ln f(x)
求导:
1
y
y
′
=
g
′
(
x
)
l
n
f
(
x
)
+
g
(
x
)
1
f
(
x
)
f
′
(
x
)
\frac{1}{y}y'=g'(x)lnf(x)+g(x)\frac{1}{f(x)}f'(x)
y1y′=g′(x)lnf(x)+g(x)f(x)1f′(x)
2.幂指转换
y
=
e
g
(
x
)
l
n
f
(
x
)
y=e^{g(x)lnf(x)}
y=eg(x)lnf(x)
再用复合函数求导法则
参数方程求导
x=x(t)
y=y(t)
d
y
d
x
=
d
y
/
d
t
d
x
/
d
t
\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}
dxdy=dx/dtdy/dt
二阶导
d
2
y
d
x
2
=
d
(
d
y
d
x
)
d
x
=
y
′
(
t
)
x
′
(
t
)
d
x
=
y
′
(
t
)
x
′
(
t
)
/
d
t
d
x
/
d
t
=
y
′
′
(
t
)
x
′
(
t
)
−
y
′
(
t
)
x
′
′
(
t
)
[
x
′
(
t
)
]
3
\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d(\frac{dy}{dx})}{dx}=\frac{\frac{y'(t)}{x'(t)}}{dx}=\frac{\frac{y'(t)}{x'(t)}/dt}{dx/dt}=\frac{y''(t)x'(t)-y'(t)x''(t)}{[x'(t)]^3}
dx2d2y=dxd(dxdy)=dxx′(t)y′(t)=dx/dtx′(t)y′(t)/dt=[x′(t)]3y′′(t)x′(t)−y′(t)x′′(t)
结论
(1)奇函数导数为偶函数
(2)偶函数导数为基函数
(3)周期函数的导数还是相同周期的周期函数
高阶求导数
1.泰勒展开式(麦克劳林)
在x=0处的展开式
f
(
x
)
=
f
(
0
)
+
f
′
(
0
)
x
+
f
′
′
(
0
)
x
2
2
!
+
f
′
′
(
0
)
x
3
3
!
+
.
.
.
f
′
′
(
0
)
x
n
n
!
f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)x^2}{2!}+\frac{f''(0)x^3}{3!}+...\frac{f''(0)x^n}{n!}
f(x)=f(0)+f′(0)x+2!f′′(0)x2+3!f′′(0)x3+...n!f′′(0)xn
f
(
x
)
=
a
0
+
a
1
∗
x
+
a
2
∗
x
+
.
.
.
a
n
∗
x
f(x)=a0+a1*x+a2*x+...an*x
f(x)=a0+a1∗x+a2∗x+...an∗x
求n阶导就是
f
(
n
)
=
a
n
∗
n
!
f^{(n)}=an*n!
f(n)=an∗n!
2.莱布尼茨公式
[
u
(
x
)
v
(
x
)
]
(
n
)
=
∑
i
=
0
n
C
(
i
n
)
u
(
n
−
i
)
(
x
)
∗
v
(
i
)
(
x
)
[u(x)v(x)]^{(n)}=\sum_{i=0}^{n}C\binom{i}{n}u^{(n-i)}(x)*v^{(i)}(x)
[u(x)v(x)](n)=∑i=0nC(ni)u(n−i)(x)∗v(i)(x)
3.中值定理，不等式与零点问题
中值定理:
1.费马引理:
f(x)在x0的邻域有定义,且f’(x0)是极值,f’(x0)=0；
证明:(以极大值为例)
2.罗尔定理:
f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,且f(a)=f(b)。至少存在一点ξ∈(a,b),使得f’(ξ)=0。
证明:
证明存在一个点
{
(
1
)
无导数
:
辅助函数无积分
(
2
)
有导数
:
涉及积分考虑罗尔定理
{
(
1
)
直接分析
(
可以直接看出原函数
)
(
2
)
使用微分方程求解原函数
证明存在一个点\begin{cases} (1)无导数:辅助函数无积分 \\ (2)有导数:涉及积分考虑罗尔定理 \begin{cases}(1)直接分析(可以直接看出原函数)\\ (2)使用微分方程求解原函数 \end{cases} \end{cases}
证明存在一个点⎩
⎨
⎧(1)无导数:辅助函数无积分(2)有导数:涉及积分考虑罗尔定理{(1)直接分析(可以直接看出原函数)(2)使用微分方程求解原函数
{
①将
ξ
改成
x
②将
y
′
移到一边
,
复合函数放一边
③解微分方程得到
c
=
g
(
x
,
y
)
④
y
=
f
(
x
)
令
F
(
x
)
=
f
(
x
,
f
(
x
)
)
\begin{cases}①将ξ改成x \\ ②将y'移到一边,复合函数放一边 \\ ③解微分方程得到c=g(x,y) \\ ④y=f(x) 令F(x)=f(x,f(x)) \end{cases}
⎩
⎨
⎧①将ξ改成x②将y′移到一边,复合函数放一边③解微分方程得到c=g(x,y)④y=f(x)令F(x)=f(x,f(x))
例题以及证明
设方程参考
推广结论:
f
(
n
)
(
x
)
有
k
个零点
,
说明
f
(
x
)
最多
n
+
k
个零点。
f^{(n)}(x)有k个零点,说明f(x)最多n+k个零点。
f(n)(x)有k个零点,说明f(x)最多n+k个零点。
3.拉格朗日中值定理:
f(x)在[a,b]连续,在(a,b)可导,至少存在一点ξ∈(a,b)使得
f
(
b
)
−
f
(
a
)
=
f
′
(
ξ
)
(
b
−
a
)
f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)
f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a) ξ∈(a,b)
证明:
4.柯西中值定理:
f(x)和g(x)在闭区间[a,b]连续,在(a,b)可导,g’(0)不为0,至少存在一点ξ∈(a,b)使得
f
(
b
)
−
f
(
a
)
g
(
b
)
−
g
(
a
)
=
f
′
(
ξ
)
g
′
(
ξ
)
\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(ξ)}{g'(ξ)}
g(b)−g(a)f(b)−f(a)=g′(ξ)f′(ξ)
证明:
当证明题中出现两个函数,需要考虑柯西中值定理!!!
不等式证明:
基本不等式:
s
i
n
<
x
<
t
a
n
x
sin<x<tanx
sin<x<tanx
x
∈
(
0
,
π
2
)
x∈(0,\frac{π}{2})
x∈(0,2π)
e
x
≥
x
+
1
e^x≥x+1
ex≥x+1
x
∈
r
,
等于在
x
=
0
处成立
x∈r,等于在x=0处成立
x∈r,等于在x=0处成立
x
≥
l
n
(
x
+
1
)
≥
1
1
+
x
x≥ln(x+1)≥\frac{1}{1+x}
x≥ln(x+1)≥1+x1 x≥-1成立,x=0取等号
a
r
c
t
a
n
x
<
x
<
a
r
c
s
i
n
x
arctanx<x<arcsinx
arctanx<x<arcsinx 0<x<1
零点定理:
不涉及积分的题目用零点定理,
涉及积分就用罗尔定理
4.导数应用
极值:
- 极值应该满足一阶导为0,二阶导不为0
- 驻点是二阶导为0的点
极值第一充分条件:邻域左右导数异号
极值第二充分条件:一阶导为0,二阶导不为0
拐点:
拐点第一必要条件:若x=x0处为拐点,则f’'(x0)=0
拐点第一充分条件:邻域二阶导左右异号
拐点第二充分条件:二阶导为0.三阶导不为0
拐点第三充分条件:
f
′
(
x
0
)
=
f
′
′
(
x
0
)
=
.
.
.
=
f
(
n
−
1
)
(
x
0
)
=
0
,
f
(
n
)
(
x
0
)
!
=
0
,
且
n
为大于二的偶数
f'(x0)=f''(x0)=...=f^{(n-1)}(x0)=0,f^{(n)}(x0)!=0,且n为大于二的偶数
f′(x0)=f′′(x0)=...=f(n−1)(x0)=0,f(n)(x0)!=0,且n为大于二的偶数
{
(
1
)
f
(
n
)
(
x
0
)
>
0
时
f
(
x
0
)
为极小值
(
2
)
f
(
n
)
(
x
0
)
<
0
时
f
(
x
0
)
为极大值
\begin{cases}(1)f^{(n)}(x0)>0时f(x0)为极小值\\ (2)f^{(n)}(x0)<0时f(x0)为极大值 \end{cases}
{(1)f(n)(x0)>0时f(x0)为极小值(2)f(n)(x0)<0时f(x0)为极大值
渐近线:
斜渐近线和水平渐近线不能共存!!! !!!
水平渐近线:
如果x趋于无穷处极限是一个常数A，存在y=x这个水平渐近线。
垂直渐近线:
如果间断点x0处的左极限或右极限为无穷,存在垂直x=x0渐近线
斜渐近线:
x趋于无穷处
f
(
x
)
x
=
a
且
f
(
x
)
−
a
x
=
b
，则
y
=
a
x
+
b
是斜渐近线
\frac{f(x)}{x}=a且f(x)-ax=b，则y=ax+b是斜渐近线
xf(x)=a且f(x)−ax=b，则y=ax+b是斜渐近线(正负无穷都要判断)
弧微分和曲率:
y=f(x),在f(x)有连续导数。存在弧微分 d s = 1 + y ′ d x ds=\sqrt[]{1+y'}dx ds=1+y′dx
y=f(x)有二阶导,有曲率
k
=
∣
y
′
′
∣
(
1
+
y
′
2
)
3
2
,
ρ
=
1
k
k=\frac{|y''|}{(1+y'2)^{\frac{3}{2}}},ρ=\frac{1}{k}
k=(1+y′2)23∣y′′∣,ρ=k1,结论:【1.曲线和圆有公共切线.2.曲线和圆有相同的y,y’,y’’ 3.L和C相同切线和曲率】
