一阶RC低通滤波器的离散化
前面我们讲了一阶系统传函的标准形式和时域响应。今天说下生活中对应的一个一阶系统——一阶RC低通滤波器。
1、一阶RC滤波电路
1.1、一阶RC电路的时域分析
电容的电流:
基尔霍夫电压定律得:
u
i
u_{i}
ui的单位是V,时间常数
τ
\tau
τ =RC; 解微分方程得:
看下时域下的响应曲线:
假设电容初始电压值为0 ,R=1K,C=4.7uF ,ui=1V ,T=RC 那么V(τ)=0.632 V。
1.2、一阶RC电路的频域分析
再变化下:
看下幅频和相频特性曲线:
幅频特性图的对数表示:
由上可以看出:
- 当ω<ωc时,幅值是平行于坐标的直线,基本无衰减;
- 当ω>>ωc时,是斜率与-20dB/十倍频成比例的一条直线;
- 当ω=ωc时,增益衰减至0.707,即-3dB,相位滞后45度,对应低通滤波器,该频率通常被称为截止频率
当使用一个一阶RC低通滤波器的时候,如果信号频率等于截止频率的时候,有个45°的延迟,就会涉及到相角的补偿。
2、一阶RC低通滤波器的离散化
对上面的微分方程拉氏变换得:
再通过z变换(方法很多,如一阶前向差分、双线性变换等,这里用一阶后向差分法)
从上面的式子:
可以看出,这个是数字一阶低通滤波器常见的形式。其中等式右边的两个系数相加等于1,即
R
C
T
s
+
R
C
+
T
s
T
s
+
R
C
=
1
,
T
s
为采样周期
\frac{RC}{T_{s}+RC}+\frac{T_{s}}{T_{s}+RC}=1,T_{s}为采样周期
Ts+RCRC+Ts+RCTs=1,Ts为采样周期,截止频率
f
c
=
1
2
π
R
C
f_{c}=\frac{1}{2\pi RC}
fc=2πRC1。
解释下,后向差分离散化和前向差分离散化的区别:
如果: 当前输出项 = 前一次输出项系数1 + 当前输入项系数2;其中有当前输入项,则为后向差分离散化。
如果: 当前输出项 = 前一次输出项系数1 + 前一次输入项系数2;其中有前一次输入项,则为前向差分离散化。
3、一阶低通数字滤波器的Simulink仿真
实验图形如下:
图中黄色波形为输入a,绿色为信号b,紫色为一阶低通滤波器的输出信号c,由图可见,输
出信号滞后输入信号45度,幅值为输入信号的0.707倍。
当我们知道输入信号的频率时,我们可以做个自适应滤波,根据输入信号的频率变化来动态
改变滤波器的截止频率。这样我们就可以知道滤波器的输出相位时钟和输入信号相差45度。
参考模型:一阶低通数字滤波器的Simulink仿真
注:内容由 【滤波器学习笔记】一阶RC低通滤波 整理而来。