判别多项式有无重因式的方法_几种有理分式分解的方法
分解步骤总览：
- 判别真假分式.
- 真分式分解出待定式.
- 待定系数求解方法: 实根法(一次式), 复根法(二次式), 求导法(一次n重), 极限法(一、二次的二重)
1. 判别真假分式
形如
化简方法: 做多项式除法[2]
例如:
2. 真分式分解
-
重一次因式
形如:
当
其中
当
例如:
-
二次因式
形如
当
当
例如:
3. 待定系数求解[3]
- 无特征——反解方程法
将各项通分合并, 将分子与原式的分子做系数比对, 写出关于待定系数的方程, 进行求解
- 多个不同的一次式, 且无重因式——实根代入法
形如
(1) 列出等式:
(2) 两边同时乘以
(3)令
例如分解
令
同理可得
- 同一个因式的n重式——求导法
形如
(1) 设
(2) 两边同时乘以
(3) 分别对等式两边求
(4) 令
(5)最后进行化简, 得出结果即为所求.
例:
令
对等式两边求5阶导:
对等式两边求4阶导:
对等式两边求3阶导:
带入
一次类推, 解得:
- 针对多个不同无重二次因式部分——复根代入法
形如
与实根带入法步骤一致, 只是二次式可能出现的根是复数.
出现复数后, 将等式化为关于复数
令
两个未知量, 两个等式, 可以解出
总的来说就是分别合并虚数部分和实数部分, 令虚数=0, 即可获得两个等式.
例:
(1) 设
(2) 乘以因式
(3) 令
等式两边乘以
令
解得:
- 一次或二次式的二重因式——极限法
形如
只能用于二重因式分解出的「幂为1」的因式部分:
(1) 使用实根、复根法求出无重因式,多重因式的二次幂项, 剩下二重因式的一次幂因式.
(2) 等式两边乘以
(3)解方程.
(4)若为二次式, 待定系数为
例:
分解
(1) 等式两边乘以
(2) 等式两边乘以
(3) 等式两边同时乘以
即
总结
多个一次式,不重复
多个二次式,不重复
一次多重
二重因式
参考
- ^http://120.113.174.201/class/inner/new/9.htm
- ^https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E9%A1%B9%E5%BC%8F%E9%99%A4%E6%B3%95
- ^https://wenku.baidu.com/view/b0b63c47b307e87101f6969f.html