【通信原理】六、数字基带传输系统
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一、数字基带系统与基带信号波形
对于数字基带信号,我们可以表示为:
s
(
t
)
=
∑
n
=
−
∞
∞
a
n
g
(
t
−
n
T
B
)
s(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_ng(t-nT_B)
s(t)=n=−∞∑∞ang(t−nTB)
数字基带信号波形及其特点
-
单极性不归零波形:极性单一,含有直流分量,长连0/1时无法同步信息
-
双极性不归零波形:0、1等概率时无直流分量,长连0/1时无法同步信息
-
单极性归零波形:极性单一,含有直流分量,高电平小于一个码元持续时间,长连0/1时无法同步信息
-
双极性归零波形:有利于同步信息
-
差分波形:当为传号差分时,传0不变,传1反转;如果 { a n } \{a_n\} {an}为绝对码, { b n } \{b_n\} {bn}为相对码,则编码规则为:
b n = a n ⨁ b n − 1 b_n=a_n\bigoplus b_{n-1} bn=an⨁bn−1
译码规则为:
a n = b n ⨁ b n − 1 a_n=b_n\bigoplus b_{n-1} an=bn⨁bn−1
特点:消除初始状态的影响,解决载波相位模糊问题
6. 多电平波形:一个波形对应多个二进制代码,频带利用率高
数字基带信号的数学模型
对于第n个码元,我们可以表示为:
s
n
(
t
)
=
{
g
1
(
t
−
n
T
B
)
概率
P
g
2
(
t
−
n
T
B
)
概率
1
−
P
s_n(t)= \begin{cases} g_1(t-nT_B)\qquad概率P\\ g_2(t-nT_B)\qquad概率1-P\\ \end{cases}
sn(t)={g1(t−nTB)概率Pg2(t−nTB)概率1−P
则基带信号表示为:
s
(
t
)
=
∑
n
=
−
∞
∞
s
n
(
t
)
s(t)=\sum^{\infty}_{n=-\infty}s_n(t)
s(t)=n=−∞∑∞sn(t)
二、数字基带信号的功率谱密度
可将信号分解为稳态信号和交变信号,稳态信号即为统计平均
稳态信号:
v
(
t
)
=
∑
n
=
−
∞
∞
[
P
g
1
(
t
−
n
T
B
)
+
(
1
−
P
)
g
2
(
t
−
n
T
B
)
]
P
v
(
f
)
=
∑
m
=
−
∞
∞
∣
f
B
[
P
G
1
(
m
f
B
)
+
(
1
−
P
)
G
2
(
m
f
B
)
]
∣
2
δ
(
f
−
m
f
B
)
v(t)= \sum_{n=-\infty}^{\infty} [ Pg_1(t-nT_B)+ (1-P)g_2(t-nT_B) ] \\ \\ P_v(f)=\sum_{m=-\infty}^{\infty} \left| f_B[ PG_1(mf_B)+(1-P)G_2(mf_B) ] \right|^2 \delta(f-mf_B)
v(t)=n=−∞∑∞[Pg1(t−nTB)+(1−P)g2(t−nTB)]Pv(f)=m=−∞∑∞∣fB[PG1(mfB)+(1−P)G2(mfB)]∣2δ(f−mfB)
交变信号:
u
n
(
t
)
=
a
n
[
g
1
(
t
−
n
T
B
)
+
g
2
(
t
−
n
T
B
)
]
a
n
=
{
1
−
P
P
−
P
1
−
P
P
u
(
f
)
=
f
B
P
(
1
−
P
)
∣
G
1
(
f
)
−
G
2
(
f
)
∣
2
u_n(t)=a_n[ g_1(t-nT_B)+ g_2(t-nT_B) ] \\ \\ a_n=\begin{cases} 1-P\qquad &P\\ -P\qquad &1-P \end{cases} \\ \\ P_u(f)=f_BP(1-P) | G_1(f)-G_2(f) |^2
un(t)=an[g1(t−nTB)+g2(t−nTB)]an={1−P−PP1−PPu(f)=fBP(1−P)∣G1(f)−G2(f)∣2
双边功率谱密度:
P
s
(
f
)
=
∑
m
=
−
∞
∞
∣
f
B
[
P
G
1
(
m
f
B
)
+
(
1
−
P
)
G
2
(
m
f
B
)
]
∣
2
δ
(
f
−
m
f
B
)
+
f
B
P
(
1
−
P
)
∣
G
1
(
f
)
−
G
2
(
f
)
∣
2
P_s(f)= \sum_{m=-\infty}^{\infty} \left| f_B[ PG_1(mf_B)+(1-P)G_2(mf_B) ] \right|^2 \delta(f-mf_B) \\ +f_BP(1-P) | G_1(f)-G_2(f) |^2
Ps(f)=m=−∞∑∞∣fB[PG1(mfB)+(1−P)G2(mfB)]∣2δ(f−mfB)+fBP(1−P)∣G1(f)−G2(f)∣2
单边功率谱密度:
P
s
(
f
)
=
2
∑
m
=
−
∞
∞
∣
f
B
[
P
G
1
(
m
f
B
)
+
(
1
−
P
)
G
2
(
m
f
B
)
]
∣
2
δ
(
f
−
m
f
B
)
+
2
f
B
P
(
1
−
P
)
∣
G
1
(
f
)
−
G
2
(
f
)
∣
2
+
∣
f
B
[
P
G
1
(
0
)
+
(
1
−
P
)
G
2
(
0
)
]
∣
2
δ
(
f
)
f
≥
0
P_s(f)= 2\sum_{m=-\infty}^{\infty} \left| f_B[ PG_1(mf_B)+(1-P)G_2(mf_B) ] \right|^2 \delta(f-mf_B) \\ \\ +2f_BP(1-P) | G_1(f)-G_2(f) |^2 \\ \\ +\left| f_B[ PG_1(0)+(1-P)G_2(0) ] \right|^2 \delta(f) \qquad f\ge0
Ps(f)=2m=−∞∑∞∣fB[PG1(mfB)+(1−P)G2(mfB)]∣2δ(f−mfB)+2fBP(1−P)∣G1(f)−G2(f)∣2+∣fB[PG1(0)+(1−P)G2(0)]∣2δ(f)f≥0
- 连续谱不能为0,且连续谱决定功率谱密度的带宽B
- 存在哪些离散谱取决于 g 1 ( t ) g_1(t) g1(t)和 g 2 ( t ) g_2(t) g2(t)的波形和符号概率
- 双极性二进制等概无离散谱
功率谱性质归纳
-
单极性二进制信号
P s ( f ) = f B 2 ∑ m = − ∞ ∞ ∣ P G ( m f B ) ∣ 2 δ ( f − m f B ) + f B P ( 1 − P ) ∣ G ( f ) ∣ 2 P_s(f)= f^2_B \sum_{m=-\infty}^{\infty} |PG(mf_B)|^2 \delta(f-mf_B)+ f_BP(1-P)|G(f)|^2 Ps(f)=fB2m=−∞∑∞∣PG(mfB)∣2δ(f−mfB)+fBP(1−P)∣G(f)∣2 -
双极性二进制信号
P s ( f ) = f B 2 ∑ m = − ∞ ∞ ∣ ( 2 P − 1 ) G ( m f B ) ∣ 2 δ ( f − m f B ) + 4 f B P ( 1 − P ) ∣ G ( f ) ∣ 2 P_s(f)= f^2_B \sum_{m=-\infty}^{\infty} |(2P-1)G(mf_B)|^2 \delta(f-mf_B)+ 4f_BP(1-P)|G(f)|^2 Ps(f)=fB2m=−∞∑∞∣(2P−1)G(mfB)∣2δ(f−mfB)+4fBP(1−P)∣G(f)∣2 -
单极性二进制等概信号
P s ( f ) = 1 4 f B 2 ∑ m = − ∞ ∞ ∣ G ( m f B ) ∣ 2 δ ( f − m f B ) + 1 4 f B P ( 1 − P ) ∣ G ( f ) ∣ 2 P_s(f)= \frac{1}{4}f^2_B \sum_{m=-\infty}^{\infty} |G(mf_B)|^2 \delta(f-mf_B)+ \frac{1}{4}f_BP(1-P)|G(f)|^2 Ps(f)=41fB2m=−∞∑∞∣G(mfB)∣2δ(f−mfB)+41fBP(1−P)∣G(f)∣2 -
双极性二进制等概信号
P s ( f ) = f B ∣ G ( f ) ∣ 2 P_s(f)= f_B|G(f)|^2 Ps(f)=fB∣G(f)∣2 -
单极性非归零等概矩形脉冲信号
P s ( f ) = 1 4 δ ( f ) + T B 2 S a 2 ( π f T B ) P_s(f)=\frac{1}{4} \delta(f)+ \frac{T_B}{2}Sa^2(\pi fT_B) Ps(f)=41δ(f)+2TBSa2(πfTB)
-
单极性归零(占空比为0.5)
P s ( f ) = 1 16 ∑ m = − ∞ ∞ S a 2 ( m π 2 ) δ ( f − m f B ) + T B 16 S a 2 ( π f T B 2 ) P_s(f)=\frac{1}{16} \sum_{m=-\infty}^{\infty} Sa^2(\frac{m\pi}{2})\delta(f-mf_B)+ \frac{T_B}{16} Sa^2(\frac{\pi fT_B}{2}) Ps(f)=161m=−∞∑∞Sa2(2mπ)δ(f−mfB)+16TBSa2(2πfTB)
-
双极性非归零等概矩形脉冲信号
P s ( f ) = T B S a 2 ( π f T B ) P_s(f)=T_BSa^2(\pi fT_B) Ps(f)=TBSa2(πfTB) -
双极性归零
P s ( f ) = T B 4 S a 2 ( π f T B 2 ) P_s(f)=\frac{T_B}{4}Sa^2(\frac{\pi fT_B}{2}) Ps(f)=4TBSa2(2πfTB)
三、基带传输的基本码型
-
AMI码
消息码中的1交替变为正负1,而0保持不变,AMI码无直流,但连0提取信号困难 -
HDB3码
规则和AMI码一样,但是遇到0数目大于3时,将0000代替为000V,V的极性必须交替且与前一个相邻的非0脉冲极性相同,当不能做到后一点时需要将000V改为B00V,BV极性相同。这样就解决了长连0的问题 -
双相码
消息1用10、消息0用01表示 -
CMI码
1码用11、00交替表示,0码用01表示 -
块编码
- nBmB编码将原本的n位二进制码用m位二进制(n<m)表示,例如CMI就是一种1B2B码
- nBmT编码将原本的n位二进制码用m位三进制(n>m)表示
四、数字基带信号传输与码间串扰
总传递函数为:
H
(
ω
)
=
G
T
(
ω
)
⋅
C
(
ω
)
⋅
G
R
(
ω
)
H(\omega)=G_T(\omega)\cdot C(\omega)\cdot G_R(\omega)
H(ω)=GT(ω)⋅C(ω)⋅GR(ω)
冲激响应为:
h
(
t
)
=
1
2
π
∫
−
∞
+
∞
H
(
ω
)
e
j
ω
t
d
ω
h(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} H(\omega)e^{j\omega t}\,d\omega
h(t)=2π1∫−∞+∞H(ω)ejωtdω
其中:
d
(
t
)
=
∑
n
=
−
∞
∞
a
n
δ
(
t
−
n
T
B
)
d(t)= \sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n\delta(t-nT_B)
d(t)=n=−∞∑∞anδ(t−nTB)
r
(
k
T
B
+
t
0
)
=
a
k
h
(
t
0
)
+
∑
n
≠
k
a
n
h
[
(
k
−
n
)
T
B
+
t
0
]
+
n
R
(
k
T
B
+
T
0
)
r(kT_B+t_0)=a_kh(t_0) +\sum_{n\ne k}a_nh[(k-n)T_B+t_0] +n_R(kT_B+T_0)
r(kTB+t0)=akh(t0)+n=k∑anh[(k−n)TB+t0]+nR(kTB+T0)
第一项为本码元采样值,第二项为ISI,第三项为噪声污染,消除码间干扰即将第二项为0
无码间干扰条件
在时域上
h
(
m
T
B
)
=
{
1
m
=
0
0
e
l
s
e
h(mT_B)= \begin{cases} 1\qquad&m=0\\ 0\qquad&else \end{cases}
h(mTB)={10m=0else
即抽样时刻有值,其他码元抽样时刻为0
在频域上,根据奈奎斯特第一准则有:
∑
i
H
(
ω
+
2
π
i
T
B
)
=
T
B
∣
ω
∣
≤
π
T
B
\sum_iH(\omega+\frac{2\pi i}{T_B})=T_B \qquad |\omega|\le\frac{\pi}{T_B}
i∑H(ω+TB2πi)=TB∣ω∣≤TBπ
在几何上,即分割平移后为理想低通滤波器即无ISI
由于陡降,现实使用余弦滚降
假设在频率
f
N
f_N
fN切割后无ISI,则:
最大传输速率
R
B
m
a
x
=
2
f
N
R_{Bmax}=2f_N
RBmax=2fN
滚降系数
α
=
B
−
f
N
f
N
\alpha=\frac{B-f_N}{f_N}
α=fNB−fN
带宽利用率
η
=
R
B
B
\eta=\frac{R_B}{B}
η=BRB
五、无码间干扰基带传输系统的抗噪声性能
加性高斯白噪声经过线性滤波系统后依然为高斯白噪声,但其方差变为:
σ
n
2
=
∫
−
∞
∞
n
0
2
∣
G
R
(
f
)
∣
2
d
f
\sigma_n^2=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{n_0}{2} |G_R(f)|^2df
σn2=∫−∞∞2n0∣GR(f)∣2df
双极性信号
发1与发0的概率密度函数:
f
1
(
x
)
=
1
2
π
σ
n
e
x
p
[
−
(
x
−
A
)
2
2
σ
n
2
]
f_1(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_n}exp \left[-\frac{(x-A)^2}{2\sigma_n^2}\right]
f1(x)=2πσn1exp[−2σn2(x−A)2]
f
0
(
x
)
=
1
2
π
σ
n
e
x
p
[
−
(
x
+
A
)
2
2
σ
n
2
]
f_0(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_n}exp \left[-\frac{(x+A)^2}{2\sigma_n^2}\right]
f0(x)=2πσn1exp[−2σn2(x+A)2]
假设判决门限为
V
d
V_d
Vd
则错发概率为:
P
(
0
∣
1
)
=
∫
−
∞
V
d
f
1
(
x
)
d
x
=
1
2
+
1
2
e
r
f
(
V
d
−
A
2
σ
n
)
P(0|1)=\int_{-\infty}^{V_d}f_1(x)dx =\frac{1}{2}+\frac{1}{2}erf \left( \frac{V_d-A}{\sqrt{2}\sigma_n} \right)
P(0∣1)=∫−∞Vdf1(x)dx=21+21erf(2σnVd−A)
P
(
1
∣
0
)
=
∫
V
d
∞
f
0
(
x
)
d
x
=
1
2
−
1
2
e
r
f
(
V
d
+
A
2
σ
n
)
P(1|0)=\int_{{V_d}^\infty}f_0(x)dx =\frac{1}{2}-\frac{1}{2}erf \left( \frac{V_d+A}{\sqrt{2}\sigma_n} \right)
P(1∣0)=∫Vd∞f0(x)dx=21−21erf(2σnVd+A)
总误码率为:
P
e
=
P
(
1
)
P
(
0
∣
1
)
+
P
(
0
)
P
(
1
∣
0
)
=
1
2
e
r
f
c
(
A
2
σ
n
)
P_e=P(1)P(0|1)+P(0)P(1|0) =\frac{1}{2}erfc \left( \frac{A}{\sqrt{2}\sigma_n} \right)
Pe=P(1)P(0∣1)+P(0)P(1∣0)=21erfc(2σnA)
最佳判决门限为:
V d ∗ = σ n 2 2 A ln P ( 0 ) P ( 1 ) V_d^*=\frac{\sigma_n^2}{2A}\ln\frac{P(0)}{P(1)} Vd∗=2Aσn2lnP(1)P(0)
单极性信号
P
e
=
1
2
e
r
f
c
(
A
2
2
σ
n
)
P_e= \frac{1}{2}erfc \left( \frac{A}{2\sqrt{2}\sigma_n} \right)
Pe=21erfc(22σnA)
最佳判决门限为:
V
d
∗
=
A
2
+
σ
n
2
A
ln
P
(
0
)
P
(
1
)
V_d^*=\frac{A}{2}+\frac{\sigma_n^2}{A}\ln\frac{P(0)}{P(1)}
Vd∗=2A+Aσn2lnP(1)P(0)
双极性的抗噪性能更好