完全背包问题(Java)
完全背包问题
需要先了解 01背包问题详解
题目
有 NN 种物品和一个容量是V 的背包，每种物品都有无限件可用。
第 ii 种物品的体积是 vi，价值是 wi。
求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。
输入格式
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。
接下来有 NN 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积和价值。
输出格式
输出一个整数，表示最大价值。
数据范围
0<N,V≤10000<N,V≤1000
0<vi,wi≤10000<vi,wi≤1000
输入样例
4 5
1 2
2 4
3 4
4 5
输出样例：
10
题解
在**01背包问题**中，我们已经讨论了 输入(即数组是从第一位，还是第二位)对状态转移方程的影响，在完全背包问题中，就不再赘述；本文重点讨论如何一步一步优化代码
朴素解法
思路：
1.从前i个物品中选择，选择物品的总重量不超过j，的情况下获得的物品最大值
2.i表示物品的选择范围，所以有：i的范围是[1—n]
3.j表示枚举每一个重量上限，所以有：j的范围是[1—bagVolume]
4…k表示枚举每一个物品的选择个数，所以有：K个物品的范围是[0—k*volume[i]]
5…考虑第一个情况，dp[1,0]表示选择一个物品，背包的最大重量为0时的最大价值，考虑其意义，值为0，所以dp数组无需初始化
代码：
import java.util.Scanner;
/**
* @see 完全背包问题 https://www.acwing.com/problem/content/3/
*/
public class completeBackpackIOClass {
static int N = 1010;
static int n, bagVolume;
static int[] volume = new int[N];
static int[] worth = new int[N];
static int[][] dp = new int[N][N];
public static void main(String[] args) {
Scanner sc = new Scanner(System.in);
n = sc.nextInt();
bagVolume = sc.nextInt();
//一定要注意，输入输出版的背包问题，2个数组都是从第二个数开始填入的
for (int i = 1; i <= n; i++) {
volume[i] = sc.nextInt();
worth[i] = sc.nextInt();
}
for(int i = 1; i <= n; i++)
for(int j = 0; j <= bagVolume; j++)
for (int k = 0;k*volume[i]<=j;k++)
dp[i][j] = Math.max(dp[i][j],dp[i-1][j-k*volume[i]]+worth[i]);
System.out.println(dp[n][bagVolume]);
}
}
时间优化
时间优化原理：
把枚举数量的一层循环去掉，等价于：dp[i][j]= max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - v] + w, dp[i - 1][j - 2 * v] + 2 * w, dp[i - 1][j - 3 * v] + 3 * w);
而列举后发现：
dp[i][j - v] = max(dp[i - 1][j - v], dp[i - 1][j - 2 * v] + w, dp[i - 1][j - 3 * v] + 2 * w, .....);
发现：
dp[i][j - v]+ w 与 dp[i][j]= max(dp[i - 1][j],...)中的...完全相等，因此用dp[i][j - v]+w代换...后得 ：
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - v] +w)；
package ACwing3完全背包问题;
/**
* @see 完全背包问题 https://www.acwing.com/problem/content/3/
*/
import java.util.Scanner;
public class completeBagTimeOptimizationClass {
static int N = 1010;
static int n, bagVolume;
static int[] volume = new int[N];
static int[] worth = new int[N];
static int[][] dp = new int[N][N];
public static void main(String[] args) {
Scanner sc = new Scanner(System.in);
n = sc.nextInt();
bagVolume = sc.nextInt();
//一定要注意，输入输出版的背包问题，2个数组都是从第二个数开始填入的
for (int i = 1; i <= n; i++) {
volume[i] = sc.nextInt();
worth[i] = sc.nextInt();
}
/**
* 时间优化的原理：
* 把枚举数量的一层循环去掉，等价于：
* dp[i][j]= max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - v] + w, dp[i - 1][j - 2 * v] + 2 * w, dp[i - 1][j - 3 * v] + 3 * w);
* 而，列举后发现：
* dp[i][j - v] = max(dp[i - 1][j - v], dp[i - 1][j - 2 * v] + w, dp[i - 1][j - 3 * v] + 2 * w, .....);
* 发现dp[i][j - v]+ w 与 dp[i][j]= max(dp[i - 1][j],...) 中的...完全相等，因此用dp[i][j - v]+w代换...后得 ：
* dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - v] +w)；
*/
for(int i = 1; i < n; i++) {
for(int j = 0; j < bagVolume; j++) {
dp[i][j] = dp[i-1][j];
if (j>=volume[i]){
dp[i][j] = Math.max(dp[i][j],dp[i][j-volume[i]]+worth[i]);
}
}
}
System.out.println(dp[n][bagVolume]);
}
}
时间，空间双优化
空间优化：
按照对01背包问题优化的思路，在时间优化版本的基础上，进行空间优化
仔细观察 完全背包问题的最终优化版，和01背包问题非常相似
唯一的不同就是内层循环的遍历顺序
实际上01背包从大到小就是使用上一行的状态更新。完全背包是使用当前行的状态更新，因为当前物品有无限个
如果01背包不倒着来，就相当于本来只能用1次的物品可以多次使用了
package ACwing3完全背包问题;
import java.util.Scanner;
public class completeBagDoubleOptimizationClass {
static int N = 1010;
static int n, bagVolume;
static int[] volume = new int[N];
static int[] worth = new int[N];
static int[] dp = new int[N];
public static void main(String[] args) {
Scanner sc = new Scanner(System.in);
n = sc.nextInt();
bagVolume = sc.nextInt();
//一定要注意，输入输出版的背包问题，2个数组都是从第二个数开始填入的
for (int i = 1; i <= n; i++) {
volume[i] = sc.nextInt();
worth[i] = sc.nextInt();
}
/**
* 空间优化：
* 按照对01背包问题优化的思路，在时间优化版本的基础上，进行空间优化
* 仔细观察 完全背包问题的最终优化版，和01背包问题非常相似
* 唯一的不同就是内层循环的遍历顺序
* 实际上01背包从大到小就是使用上一行的状态更新。完全背包是使用当前行的状态更新，因为当前物品有无限个
* 如果01背包不倒着来，就相当于本来只能用1次的物品可以多次使用了
*/
for (int i = 1; i < n; i++) {
for (int j = volume[i]; j < bagVolume; j++) {
dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - volume[i]] + worth[i]);
}
}
System.out.println(dp[bagVolume]);
}
}
终极优化版(在输入时同步处理)
import java.util.Scanner;
public class completeBagDoubleOptimizationPlusClass {
static int N = 1010;
static int[] dp = new int[N];
public static void main(String[] args) {
Scanner sc = new Scanner(System.in);
int n =sc.nextInt(),bagVolume = sc.nextInt();
//一定要注意，输入输出版的背包问题，2个数组都是从第二个数开始填入的
for(int i = 1; i <= n; i++) {
int volume = sc.nextInt(),worth = sc.nextInt();
for (int j = volume; j <=bagVolume ; j++)
dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j-volume]+worth);
}
System.out.println(dp[bagVolume]);
}
}
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