离散时间序列的傅里叶变换和基本性质

1、由连续时间序列的傅里叶变换：

2、DTFT的一些·常用性质

（1）时移性质

1、由连续时间序列的傅里叶变换：

$F(w)=\int_{-\infty }^{+\infty }x(t)e^{-jwt}dt$

$x(t)=1/2\pi \int_{-\infty }^{+\infty }F(w)e^{jwt}dw$

可以以此类推离散时间序列的傅里叶变换为

$X(e^{jw})=\sum_{n=-\infty }^{+\infty }x(n)e^{-jwn}$

$x(n)=1/2\pi \int_{-\pi }^{+\pi }X(e^{jw})e^{jwn}dw$

由于序列是离散的，所以求FT公式的时候用的累加；由于离散时间系统的FT是周期连续函数，且周期是2π(所以下面我们上下限选择的是+π)，则可以直接用连续时间系统的FT公式带入。下面对离散时间系统的x(n)公式做一下验证：

$\int_{-\pi }^{+\pi }X(e^{jw})e^{jw}dw=\int_{-\pi }^{+\pi }\sum_{m=-\infty }^{+\infty }x(m)e^{-jwm}e^{jwn}dw=\sum_{m=-\infty }^{+\infty }\int_{-\pi }^{+\pi }x(m)e^{-jw(m-n)}dw$

$\int_{-\pi }^{+\pi }x(m)e^{-jw(m-n)}dw=\int_{-\pi }^{+\pi }x(m)(\cos (n-m)+j\sin (n-m))dw$

$=\left\{\begin{matrix} 2\pi& &m=n & \\ 0& &m!=n & \end{matrix}\right.$

$\int_{-\pi }^{+\pi }x(m)e^{-jw(m-n)}dw=2\pi x(n)$

至于这个2π周期，简要写一下：

$X(e^{jw})=X(e^{j(w+2M\pi })$ 其中M是整数

下面是一个具体实例，附加matlab代码：

n=-10:10;
x=[(n>=0)&(n<10)];
k=-200:200;
w=(pi/200)*k;
X=x*(exp(-j*pi/200)).^(n'*k);
magX=abs(X);
angX=angle(X);
subplot(4,1,1);
stem(n,x);
xlabel('n');
ylabel('x');
grid on;
subplot(4,1,2);
plot(w,X,'LineWidth',1);
xlabel('Frequency');
ylabel('X');
grid on;
subplot(4,1,3);
plot(w,magX,'LineWidth',1);
xlabel('Frequency');
ylabel('|X|');
grid on;
subplot(4,1,4);
plot(w,angX,'LineWidth',1);
xlabel('Frequency');
ylabel('ang(X)');
grid on;

2、DTFT的一些·常用性质

（1）时移性质

$FT[x(n-n_{0})]=X(e^{^{jw}})e^{-jwn_{0}}$

证明：

$\sum_{n=-\infty }^{+\infty }x(n-n_{0})e^{-jwn}=\sum_{m=-\infty }^{+\infty }x(m)e^{-jw(m+n_{_{_{0}}})}=e^{-jwn_{0}}\sum_{m=-\infty }^{+\infty }x(m)e^{-jwm}$

$=e^{-jwn_{0}}X(e^{jw})$

推导过程中使用了一步换元法： $m=n-n_{0}$

（2）频移性质

$FT(e^{jw_{0}n}x(n))=X(e^{j(w-w_{0})})$

证明：

$\sum_{n=-\infty }^{+\infty }x(n)e^{-jwn}e^{jw_{0}n}=\sum_{n=-\infty }^{+\infty }x(n)e^{-j(w-w_{0})n}=X(e^{j(w-w_{0})})$

3、序列的对称性(这个比较重要)

首先介绍两个概念：

共轭对称序列条件： $x(n)=x^{^{*}}(-n)$ ，记做 $x_{_{e}}(n)$

共轭反对称序列条件: $x(n)=-x^{^{*}}(-n)$ ，记做 $x_{_{o}}(n)$

（1）实部与虚部的奇偶性

$x(n)=x_{r}(n)+jx_{i}(n)$

$x^{*}(n)=x_{r}(n)-jx_{i}(n)$

由共轭对称序列与共轭反对称序列的条件可知：

（1）若一个序列为共轭对称序列，那么

$x_{er}(n)=x_{er}(-n)$ 即实部为偶函数

$x_{ei}(n)=-x_{ei}(-n)$ 即虚部为奇函数

（2）若一个序列是共轭反对称序列，那么

$x_{or}(n)=-x_{or}(-n)$ 即实部是奇函数

$x_{oi}(n)=x_{oi}(-n)$ 即虚部是偶函数

（2）序列的表示

任何一个序列都可以由共轭对称序列和共轭反对称序列的和表示，即：

$x(n)=x_{e}(n)+x_{o}(n)$

那么

$x^{*}(-n)=x_{e}^{*}(-n)+x_{o}^{*}(-n)$

因此，易得

$x_{e}(n)=(x(n)+x^{*}(-n))/2$

$x_{o}(n)=(x(n)-x^{*}(-n))/2$

（3）序列FT的对称性

首先推导三个比较重要的公式：

$X(e^{jw})=\sum_{n=-\infty }^{+\infty }x(n)e^{-jwn}$

$\sum_{n=-\infty }^{+\infty }x^{*}(-n)e^{-jwn}=[\sum_{n=-\infty }^{+\infty }x(-n)e^{jwn}]^{*}=[\sum_{m=+\infty }^{-\infty }x(m)e^{-jwm}]^{*}=X^{*}(e^{jw})$

$\sum_{n=-\infty }^{+\infty }x^{*}(n)e^{-jwn}=[\sum_{n=-\infty }^{+\infty }x(n)e^{jwn}]^{*}=[\sum_{n=-\infty }^{+\infty }x(n)e^{-j(-w)n}]^{*}=X^{*}(e^{-jw})$

性质一：

序列x(n)的实部 $x_{_{r}}(n)$ 的FT具有共轭对称性；序列x(n)的 $jx_{i}(n)$ 具有共轭反对称性，即：

$FT[x_{r}(n)]=X_{e}(e^{jw})=X_{e}^{*}(e^{-jw})$

$FT[jx_{i}(n)]=X_{o}(e^{jw})=-X_{o}^{*}(e^{-jw})$

证明：

$x_{r}(n)=(x(n)+x^{*}(n))/2$

$FT[x_{_{r}}(n)]=[X(e^{jw})+X^{*}(e^{-jw})]/2=X_{e}(e^{jw})$

同理可得：

$jx_{i}(n)=(x(n)-x^{*}(n))/2$

$FT[jx_{_{i}}(n)]=[X(e^{jw})-X^{*}(e^{-jw})]/2=X_{o}(e^{jw})$

性质二：

序列x(n)的共轭对称部分 $x_{e}(n)$ 的FT是 $X(e^{jw})$ 的实部 $X_{R}(e^{jw})$ ；序列x(n)的共轭反对称部分 $x_{o}(n)$ 的FT是 $jX_{I}(e^{jw})$ ，即：

$FT[x_{e}(n)]=X_{R}(e^{jw})$

$FT[x_{o}(n)]=jX_{I}(e^{jw})$

证明：

$x_{e}(n)=(x(n)+x^{*}(-n))/2$

$FT[x_{_{e}}(n)]=[X(e^{jw})+X^{*}(e^{jw})]/2=X_{R}(e^{jw})$

同理可得：

$x_{o}(n)=(x(n)-x^{*}(-n))/2$

$FT[x_{_{o}}(n)]=[X(e^{jw})-X^{*}(e^{jw})]/2=jX_{I}(e^{jw})$